Krumning i kortprojektioner

Link: http://www.physics.drexel.edu/~goldberg/projections

 

Intro

Hvordan kan du tage en kugle og bedste projekt det på en flad overflade, så du kan bære den rundt på et ark papir, eller, endnu bedre, se det på din skærm. Svaret sikkert afhænger af, hvad du vil bruge dit kort til. Historisk set har folk brugt Tissot Indicatrix for at give vejledning. Metoden er enkel: Forestil dig at male små cirkler på jorden (eller nogen anden planet – ovenfor, vi projicerer overflade Jupiter), og projicere jordens overflade (og cirklerne) på kortet. Nogle programmer vil kræve, at alle de kredse stadig være cirkulære (konforme fremskrivninger). Nogle vil kræve, at alle kredse være af samme område. Ingen kort projektion kan opfylde begge kriterier.
J. Richard Gott og jeg ønskede at tage denne analyse et skridt fremad. Hvad sker der, når du projicerer store forekomster: USA-Canada Border, for eksempel, eller Australien, eller bånd af Jupiter, på et bestemt kort projektion? Er de funktioner gengives loyalt? Til det formål har vi indført en formel mål for fleksion og skævhed af et kort.

Dette kan visualiseres simpelthen via Goldberg-Gott Indicatrices. Pick et punkt på jorden og kører nordpå 12 grader (omkring 1300 kilometer). Selv hvis du rammer nordpolen, ikke vende dit rat. Følg en geodætiske. Gør det samme, men mod vest, øst og syd. Fra dit perspektiv, har du trukket et stort plustegn på jorden. Når projiceres et kort, denne indicatrix straks afslører krumning fremskrivningen. Desuden, hvis du forbinde prikker og lukke indicatrix, får du en ellipse – Tissot ellipse.

Rig og jeg har vurderet omkring 20 forskellige projektioner og målt dem med hensyn til areal konservering, ellipticitet af Tissot, fleksion (bøjning af geodesics), skævhed (satsen for ændring af hastighed på et kort), grænsebetingelser nedskæringer, og afbrydelser mellem tilfældige point. Alt i alt fandt vi, at de bedste to overordnede fremskrivninger er (henholdsvis), den Winkel-Tripel (til venstre), og Kavrayskiy VII (til højre). Se om du er enig med vores numerisk vurdering.

 

Mens du er ved det, stoppe ved Wes Colley hjemmeside. Han har også arbejdet med Rich på kortprojektioner, og var god nok til at give sit kort genprojektion software. Du kan også få et papir fra Gott, Mugnolo og Colley på optimale foranstaltninger kort afstand her.

Nu, for hver tage et kig på de “Goldberg-Gott” indicatrices:

 

Men den bedste samlede kort er ikke nødvendigvis det bedste til ethvert formål. For eksempel Kavrayskiy VII har nice egenskab, at linjer længdegrad er vandret. Så for en fremskrivning af, siger, Jupiter, finder vi:

 

 

For mange applikationer, (såsom CMB, storstilet Struktur osv), er alle-sky kort påkrævet. Siden andet end et område-bevare fremskrivning ville groft fordreje struktur, og derfor bør straks tilbagediskonteres, kun dem skal bruges. Men hvilken? Den WMAP hold, for eksempel, har brugt Mollweide projektion. Viser dog, at det all-around bedste område-bevare kortet er Eckert IV projektion. Det slår Hammer (Aitoff) på figurer med en stor margen (den mest mærkbar effekt i dette tilfælde), binder det på fleksion, og knap taber på afstande. På skævhed dog Hammer vinder ved en rimelig margen.

.

Beslut for dig selv. Wes Colley har udarbejdet en Eckert IV fremskrivning af WMAP 3. år resultater:

Eckert IV                                                                                  Mollweide

 

Vores Code

Mens du sikkert velkommen til at blot at gennemgå vores resultater og se på vores kort i vores fortryk, kan du ønsker at se på det her for dig selv. Vi er derfor at gøre vores IDL kode til rådighed for alle, der ønsker det.
Der er to vigtigste programmer

map_flexion.pro, hvilket skaber en fremskrivning med Goldberg-Gott indicatrices. Den kaldende procedure er:
map_flexion, projektion (streng), [outfile = filnavn]
Den valgfrie outfile argument opretter en PostScript-fil i stedet for at udskrive til skærmen. Der er også valgfrie argumenter, som kan angive intervallet for bredde- og længdegrader der skal plottes. En liste over tilgængelige prognoser kan findes i deproject.pro. Hvis du ønsker at tilføje en fremskrivning til nogen af ​​de programmer, blot bruge de eksisterende fremskrivninger som en skabelon.
map_random.pro, som kaster tilfældige punkter på kloden og beregner de statistikker, der findes i Goldberg & Gott papir. Den kaldende procedure er:
map_random, projektion [, npts = npts] [, latmax = latmax] [, latmin = latmin]
Som standard, bruger vi 30000 point og vælge punkter tilfældigt over hele kloden.
Hvem er vi?

Dave Goldberg, assisterende professor i fysik ved Drexel University
J. Richard Gott III, professor i astrofysik ved Princeton University
I øvrigt har Rich designet en meget flot Conformal kort over universet. Du bør tjekke det ud!
Rogues Gallery

 


Eckert IV

[ps of lat/lon grid]

Equirectangular

[ps of lat/lon grid]

Gall-Peters

[ps of lat/lon grid]

Gnomonic Cube

Gott

[ps of lat/lon grid]

Gott-Mugnolo Elliptical

Gott-Mugnolo

[ps of lat/lon grid]

Hammer

[ps of lat/lon grid]

Kavrayskiy VII

[ps of lat/lon grid]

Mercator

[ps of lat/lon grid]

Mollweide

[ps of lat/lon grid]

Winkel-Tripel

[ps of lat/lon grid]

Kvalitetsresultater

I vores papir, måler vi en række forskellige kvaliteter til kort: Hvor godt område bevares (A), hvor meget ellipticitet forvrængning der er (E), hvor meget fleksion (F) og skævhed (S) er der, variationen i distance fejl (D), og hvor mange grænser en tilfældigt udvalgt par af punkter på kloden vil blive adskilt af.
I hvert tilfælde, vi gjorde vores foranstaltninger ensartet på kloden. De specifikke målinger er diskuteret i vores papir.

Projection E A F S D B
Non Interrupted Projections
Azimuthal Equidistant 0.87 0.60 1.0 0.57 0.356 0
Gott-Mugnolo 1.2 0.20 1.0 0.59 0.341 0
Lambert Azimuthal 1.4 0 1.0 2.1 0.343 0
Stereographic 0 2.0 1.0 1.0 0.714 0
1 180 deg. Boundary Cut
Breisemeister 0.79 0 0.81 0.42 0.372 0.25
Eckert IV 0.70 0 0.75 0.55 0.390 0.25
Eckert VI 0.73 0 0.82 0.61 0.385 0.25
Equirectangular 0.51 0.41 0.64 0.60 0.449 0.25
Gall-Peters 0.82 0 0.76 0.69 0.390 0.25
Gall Stereographic 0.28 0.54 0.67 0.52 0.420 0.25
Gott Elliptical 0.86 0 0.85 0.44 0.365 0.25
Gott-Mugnolo Elliptical 0.90 0 0.82 0.43 0.348 0.25
Hammer 0.81 0 0.82 0.46 0.388 0.25
Kavrayskiy VII 0.45 0.31 0.69 0.41 0.405 0.25
Lagrange 0 0.73 0.53 0.53 0.432 0.25
Lambert Conic 0 1.0 0.67 0.67 0.460 0.25
Mercator 0 0.84 0.64 0.64 0.440 0.25
Miller 0.25 0.61 0.62 0.60 0.439 0.25
Mollweide 0.76 0 0.81 0.54 0.390 0.25
Polyconic 0.79 0.49 0.92 0.44 0.364 0.25
Sinusoidal 0.94 0 0.84 0.68 0.407 0.25
Winkel-Tripel 0.49 0.22 0.74 0.34 0.374 0.25
Winkel-Tripel (Times) 0.48 0.24 0.71 0.373 0.39 0.25

 

 

 

Comments are closed.