Math Club Interview med professor Curtis McMullen

Original: http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/interview.html

af Anne-Marie Oreskovich og Dmitry Sagalovskiy

Sidste semester, math klub havde det privilegium at interviewe Harvard professor og de seneste Fields medaljevinder Curtis McMullen. Under timelange interview, professor McMullen diskuterede hans baggrund, hans forskning, sine erfaringer på forskellige universiteter over hele landet, og Fields medalje. Den matematiske klub vil gerne takke professor McMullen for at tage sig tid til at lade os blive bedre til at kende ham. For at finde ud af mere om professor McMullen, se hans hjemmeside på http://math.harvard.edu/~ctm

Q: Hvor længe har du været på Harvard?

M: En halvandet år, hvis du ikke tælle mine graduate studerende dage.

Q: Så du var en ph.d.-studerende her?

M: Right.

Spørgsmål: Og hvor var du en bachelor?

M: Jeg var på Williams College i vestlige Massachusetts, og så jeg tilbragte et år i Cambridge, England.

Q: Hvor er du fra?

M: Det er slags en hård spørgsmål at besvare. Jeg dybest set voksede op i Charlotte, Vermont, men jeg blev faktisk født i Berkeley, Californien. Vi flyttede rundt lidt for, men jeg tror på mig selv som værende fra Vermont.

Q: Så kan du fortælle os lidt om medaljen?

M: Jeg tror, ​​det blev startet i 1930’erne. Det blev oprettet af en canadisk, Fields, og jeg ved, at Ahlfors og Douglas fik de to første. Det har givet hvert fjerde år på ICM, og i de senere år, de har været at give det til tre eller fire personer. Så lad os se, hvem der ellers fik det i år? Kontsevich, Gowers, og Borcherds. Faktisk alle af dem bortset Gowers har tilbragt tid i Berkeley, som er, hvor jeg var i de sidste syv år, før jeg kom her. Så jeg vidste både Borcherds og Kontsevich fra Berkeley.

Q: Hvor var du, når du finder ud af det?

M: Jeg var her. Du finder ud for et par måneder i forvejen, og det er meningen at der skal holdes hemmeligt indtil selve dagen af ​​ceremonien. Så faktisk jeg ikke fortælle nogen, som var ganske vanskeligt, fordi der var rygter, og jeg ville hele tiden skulle nægte dem.

Q: Kan du fortælle os lidt om, hvad din forskning var på, der gav dig medaljen?

M: Lad mig begynde med den retning, min forskning. Først skrev jeg mit speciale på Harvard, men jeg har ikke arbejde med en Harvard professor. Jeg havde gjort nogle computer arbejde med David Mumford om Kleinian grupper, før jeg er uddannet, og jeg fik interesseret i dette emne. Men jeg endte faktisk med at skrive mit speciale med Dennis Sullivan, der på det tidspunkt var professor ved City University i New York og IHES på Frankrig. Så jeg var meget heldig, at Mumford introducerede mig til ham i det sidste år af min kandidat karriere, på hvilket tidspunkt havde jeg ingen rådgiver og ingen specialeemne. Og jeg gik til Frankrig og arbejdede med Sullivan på IHES for et semester, og jeg mødte Steve Smale der der gav mig denne nice afhandling problem på at løse polynomielle ligninger ved iteration.

Du har sikkert hørt om Newtons metode til at løse polynomier. Hvis du anvender Newtons metode til en kubisk polynomium, kan det ikke fungere. Du kan sidde fast under en lokal minimum. Og hvis du ændrer den indledende gæt en lille smule, kan det stadig ikke konvergere til en rod. Så Newtons metode er ikke pålidelige til at løse ligninger. Det problem, jeg arbejdede på var, om der var nogen algoritme ligesom Newtons metode, der involverer iteration af blot én rationel funktion, der pålideligt kan løse polynomielle ligninger. Jeg var i stand til at bevise, at svaret er nej for graden 4 eller mere, og faktisk fandt jeg en ny algoritme til at løse cubics, som er pålidelige.

Så gik jeg til MSRI og var på MIT for et semester, så Princeton i fire år. Peter Doyle og jeg arbejdede i Princeton på at løse femte grad ligninger, og vi fandt dette smukke uventede algoritme til at løse quintic polynomier. Men det er ikke modsiges af min afhandling, fordi det er et tårn af iterationer; det vil sige, gentage dig en rationel funktion, tage ting, som den konvergerer, og sæt det ind i en anden.

Som du måske ved, løse quintic er bundet op med Galois gruppe A5, og det faktum, at A5 er en simpel gruppe. Dette blev brugt af Galois at bevise du ikke kan løse quintic ligning ved radikaler.

Det viser sig, at være i stand til at løse en ligning ved hjælp af en gentog rationelt kort, hvad du skal gøre er at finde en rationel kort, hvis symmetri gruppe er den Galois gruppe af polynomiet. Nu er der kun et lille sæt af grupper, der kan være symmetri grupper på Riemann kuglen, og de interessante kommer fra de platoniske legemer. Så A5, symmetri gruppe af dodekaeder, er den mest komplicerede, du kan få. Vi brugte denne rationelle kortet med A5 symmetri at give en ny algoritme til løsning af quintic ligning pålideligt. Og af samme grund, da S6 eller A6 ikke opererer på Riemann kuglen, er der ingen lignende algoritme til at løse ligninger af grad 6 eller mere. Så det var min første forskningsområde: løse polynomier, og dynamik rationelle kort. Forbindelse

Nu er den næste ting, jeg arbejdede på, da jeg var på Princeton var Thurston teori om hyperbolske 3-mangfoldigheder. Thurston har et forskningsprogram, som har været meget vellykket, for at forsøge at finde en kanonisk geometri til tredimensionelle objekter. For eksempel, hvis du forestille dig du har nogle manifold, der er hemmeligt en 3-kugle, hvis du eller anden måde kunne finde en rund metrik på det, så ville du pludselig genkende det som 3-sfære. Så hvis du kan finde en metrik, der giver manifolden en god form, så kan du genkende, hvad manifolden er. Det viser sig, at de fleste tredimensionale manifolds indrømmer disse målinger, men de målinger ikke er positivt kurvet som 3-sfære, er de negativt krumme. For eksempel, hvis du tager på ydersiden af ​​en knude i S3, en knude supplement, så er det næsten altid indrømmer en af ​​disse såkaldte hyperbolske målinger med konstant negativ krumning. På grund af dette, er der nu computerprogrammer, hvor man bare kan trække en knude tilfældigt med en mus, og klik, og inden for et eller to sekunder det vil fortælle dig præcis, hvad knude det er. Og hvis du giver det to knob, vil det straks genkende, om de er de samme knude. Det er forbløffende, fordi problemet med at klassificere knob var klassisk yderst vanskeligt at løse.

Mens på Princeton fandt jeg en ny, analytisk bevis for Thurston sætning, der giver hyperbolske strukturer på mange 3-mangfoldigheder, herunder de fleste knude supplerer. Denne nye beviser har at gøre med Poincarés-serien, en klassisk emne i kompleks analyse, og det også føre til løsning af formodninger af Kra og lemmer. Senere på Berkeley begyndte jeg at se paralleller mellem teorien om 3-mangfoldigheder at fiber over cirklen; dette emne er udarbejdet i 2 bøger, der dukkede op i Princeton “Annals of Math. Studies”. Felter medaljen var, jeg forestiller mig, i erkendelse af disse projekter.

Så jeg arbejdede på dynamikken i rationelle kort, og jeg arbejdede på hyperbolske 3-mangfoldigheder, og jeg arbejdede på Riemann flader per se, og jeg har også arbejdet på topologi af overflader og knob. Og de ting, jeg gerne vil fremhæve, er, at for mig alle disse felter er virkelig det samme felt. Du meget nemt begynde at arbejde på et problem i dynamik, og find dig selv et par måneder senere arbejder på et problem i knude teori eller topologi, fordi de alle er meget forbundet med hinanden – knob, kompleks analyse, polynomier, Riemann overflader, hyperbolske 3-manifolde osv Der er egentlig ikke et navn for dette område, men det er det område, jeg arbejder i.

Q: Så du har været på velsagtens de fire bedste skoler i Amerika for matematik: Princeton, Berkeley, MIT og Harvard. Kan du sammenligne dem i form af atmosfæren, venlighed, tempo folk arbejder på, osv, for bachelorer tænker på at gå videre til graduate skole?

M: De er virkelig forskellige. Lad mig udelade MIT, fordi jeg kun brugt et semester der. Princeton er en fantastisk afdeling, men byen er lidt indelukket og kedeligt for et ungt menneske. Det har den højeste koncentration af folk fra “hvem der er hvem”, og det er meget kultiveret. Der er intet uventet nogensinde sker. Så det synes ikke meget livlig for mig. Men jeg var der ikke som en ph.d.-studerende. Princeton er et vidunderligt sted at gå til, hvis du ved, du ikke vil være der for evigt. Jeg ser tilbage meget kærligt på mine år på Princeton.

Princeton og Harvard begge behandler deres studerende meget godt. Der er en god forholdet mellem antallet af studerende per fakultet. Studerende er godt finansieret, afdelinger er små nok, at de studerende får en masse individuel opmærksomhed. Og jeg tror, ​​de studerende lærer meget af hinanden i begge steder. Det er en stor del af kandidatuddannelser.

Berkeley er også virkelig vidunderlig. Det er et sted, der har en enorm afdeling, hundred fakultet, hvis man tæller emereti. Jeg elskede virkelig det, men det tager en masse energi på at finde et godt sted at bo, for at finde en god rådgiver, og at komme ind i den rigtige niche, matematisk og så videre. Men som du gør det, det betaler dig tilbage meget. Og vejret er smuk. Du kan gå fra campus til Strawberry Canyon derefter ind Tilden Park og være helt ude af menneskesyn inden for 40 minutter. (På Harvard, på den anden side, fandt jeg jeg kunne cykel i en time, og stadig være i suburbia …) I Berkeley svømmebassiner er udendørs, det er meget livlig, og det er også meget tolerant – til alle former for forskellige livsstile, forskellige slags mennesker. Du føler en følelse af frihed. Du behøver ikke føle nogen qualm om at prøve en ny idé, og ikke bekymre sig så meget om, hvorvidt det kommer til at fungere. En af de gode ting ved Berkeley er, at der er så mange studerende, og så mange postdocs i området, især med MSRI, at du kan have en arbejdsgruppe om nogen matematisk emne, du kan tænke på. Der er en masse matematisk interesse der.

Jeg nød virkelig at være en ph.d.-studerende ved Harvard også. Cambridge og Berkeley har begge fordele i forhold til Princeton, i den forstand, at de er unge samfund, der er en masse i gang, de er tæt på en større by. Du kan fortælle en lille smule fra min kandidat erfaring, at selv om jeg mener Harvard er virkelig stor, kan det faktum, at dens fakultet er lille gør det svært at finde en rådgiver, der er i det område, du ønsker at arbejde i. Og jeg tror, ​​at egentlige nøgle til succes i graduate skole er at finde noget, som du er interesseret i nok til at holde dig i gang i fire eller fem år.

Q: Hvorfor valgte du at komme til Harvard fra Berkeley?

M: jeg først kom som en besøgende. Og jeg fandt det virkelig sjovt at undervise her. På Berkeley klasser for bachelorer er ofte meget store, og det var bare meget givende at have disse rigtig gode studerende i en lille klasse. Og jeg kunne virkelig godt lide det faktum, at afdelingen er lille nok, at det er nemt at komme til at kende andre fakultet medlemmer. Og selvfølgelig, siden jeg var en ph.d.-studerende her, jeg altid set op til Harvard som værende dette vidunderlige sted. Faktisk fandt jeg det svært at forestille sig at være professor her, så jeg ønskede at udforske, hvad det ville være ligesom. Jeg nyder, at mine interesseområder er forskellige fra, men overlappende med, de andre mennesker i afdelingen. Jeg er meget interesseret i en masse af de ting andre mennesker gør her. Så for mig, på en måde, det lader mig fortsætte min uddannelse.

Spørgsmål: Men ikke dette sænke dine muligheder for samarbejde med andre videnskabelige medarbejdere?

M: For det første, jeg rejser meget lidt, så jeg kan se de mennesker, der er i mit område i Frankrig, eller i Stonybrook, eller andre steder. Imidlertid er de fleste forskning udført på din egen; Jeg gør mit bedste forskning ved mig selv. Dens meget nyttigt at være i stand til at køre et argument af en ekspert på området, men jeg ved ikke rigtig glip have en person, der er præcis i min felt at samarbejde med. Jeg må indrømme, det var en hård beslutning at komme her. Jeg savner bor i Berkeley, og jeg kan tilbringe et sabbatår der.

Q: Kan du se dig selv som en renæssance matematiker i den forstand, at dit arbejde omfatter en bred vifte af områder af matematik?

M (griner): Nej, jeg ser mig selv mere som en dilettant, en person, der svælge i mange forskellige områder og er interesseret i mange forskellige ting; Jeg ville bestemt ikke sige en renæssance matematiker. Nu, jeg virkelig nyde masser af forskellige former for matematik, og jeg nyder at arbejde på noget, jeg er ikke ekspert i og lære om dette emne. Dette felt jeg har beskriver er virkelig dejligt, at måde, fordi dens så bred, at den kommer i kontakt med mange forskellige typer af matematik. Da jeg kom til Harvard, fandt jeg, at for en masse af teorien (såsom Hodge teori om komplekse mangfoldigheder, etc.), jeg ikke rigtig forstå det, og jeg ikke var meget motiveret for at studere det. Så jeg startede med et emne, jeg kunne lære rigtig godt: en reel variabel.

Jeg tog en reel analyse kursus, da jeg var en undergraduate; Jeg gik til Stanford i et år og tog en stor reel analyse kursus fra Benjamin Weiss, der var en gæsteprofessor fra Jerusalem. Og som virkelig fik mig begejstret analyse. Så jeg gik tilbage til Williams, og jeg har arbejdet tæt sammen med Bill Oliver. Han var meget indflydelsesrig i min matematisk uddannelse; det var fra ham, at jeg første gang hørte denne idé om at bruge ordbøger i matematik til at bruge som en slags analogi mellem forskellige felter eller forskellige teoretiske udviklinger til at forsøge at guide mit arbejde. Så dem var min tidlige påvirkninger.

Da jeg kom til Harvard, og jeg var en slags casting om. Jeg vidste, hvordan edb-program – jeg havde arbejdet i somre hos IBM-Watson i Yorktown Heights – og Mandelbrot og Mumford var næsten samarbejde; Mandelbrot blev møblering adgang til computere på Yorktown Heights til Mumford, der trak disse smukke billeder af grænseværdier sæt Kleinian grupper. Som nogen, der var fortrolig med computeren verden på Yorktown, jeg begyndte at arbejde for ham som hans computer programmør, hjælpe ham trække disse billeder og så videre. Du er nødt til at forestille sig, i de dage, vi havde at gøre en lang-distance-modem opkald og derefter arbejde på 30 tegn per sekund terminal skrive programmer i FORTRAN. Så ville vi tegne et billede, og vi ville have til at vente en uge for dem at sende det til os fra Yorktown at se, om det kom ud til højre.

Så fik jeg interesseret i Hausdorff dimension, og da jeg vidste, at nogle reelle analyse, jeg prøvede at arbejde på det. Min første papir nogensinde var på et problem, jeg lærte, da jeg første gang mødte professor Hironaka, som var en Harvard professor på det tidspunkt, selv om han havde været på orlov i Japan. Da han først kom tilbage fra Japan, fortalte han mig dette spørgsmål, som han ikke havde været i stand til at løse, som var til at beregne den fraktale dimension af et bestemt sæt. Sættet opnås ved at trække bogstavet “M” og gentage den samme figur, som vist her.

I sidste ende får du et sæt med ikke selv lignende, men det er self-affin. Fraktaler hvis dimensioner er nemme at beregne har den egenskab, at hvis du tager et lille stykke og re-skalaen ved den samme faktor i begge dimensioner, det ligner en større stykke. Denne ene har den egenskab, at en meget lille hul kan skaleres til den store kløft, men du er nødt til at skalere med en effekt på to i én retning, og ved en effekt på tre i den anden; på grund af at det er dimension er vanskelig at beregne. I mit første forskning papir, jeg beregnede det dimension: D = log2 (1 + 2log3 2). Det var en vidunderlig problem; Jeg har arbejdet på det meget svært. Du kan se, at jeg kunne lide at bo tæt på grund af matematik jeg virkelig forstået.

Så begyndte jeg at få mere interesseret i komplekse dynamik, så jeg gik til en kompleks variabel fra én reel variabel; Jeg har altid opholdt sig tæt til stuff jeg kunne rigtig forstå. Så nu, tolv år efter min Ph D., jeg endelig skriver et papir, der har at gøre med Kähler geometri.; og jeg bestemt ikke føler komfortable med Kähler målinger da jeg var i forskerskolen. Jeg var nødt til ikke kun arbejde op til de emner, men også se en intern motivation for at komme til dem, i stedet for at have dem smed ned i et “godt det er det, vi kommer til at lære næste” -manner.

Q: Hvad var den “ordbog analogi”, som du talte om?

M: Min største matematiske indflydelse var min afhandling rådgiver, Dennis Sullivan. Ikke kun var han min afhandling rådgiver, men da han stadig var på IHES i Frankrig, ville vi tilbringe et par måneder sammen hver sommer der, og jeg vil gå til hans seminar fra New York eller Princeton. Han er professor i Stony Brook, NY nu, og jeg forsøger at besøge der omkring en gang om året.

Sullivan opfandt en smuk ordbog mellem rationelle kort og Kleinian grupper. En rationel kort er et kort over Riemann kuglen til sig selv givet af kvotienten af ​​to polynomier; for eksempel x2 + c, hvor polynomiet i nævneren er 1. Det interessante at studere, er iteration af disse kort. Når du har en kompakt hyperbolsk 3-manifold, dens universelle dækning viser sig at være den faste (åben) 3-bold. Kvotienten for 3-ball ved virkningen af ​​den grundlæggende gruppe af den oprindelige manifold er manifolden igen. Det 3-bold kan compactified ved at tilføje sin grænse i R3, nemlig kuglen S2. Gruppen handling på 3-bold strækker sig til grænsen S2 som Möbius transformationer (dvs. kort over formen (az + b) / (cz + d)). Dette kaldes en Kleinian gruppe. Bemærk, at vi begyndte med at overveje en 3-dimensionel manifold og vi endte med en dynamisk system på kuglen. Dette er, hvordan de to fag er forbundet. Der er mange sætninger gør denne sammenhæng eksplicit. Jeg skrev en undersøgelse artiklen (“Klassificeringen af ​​konforme dynamiske systemer”) til Yau konference, som lagde ud ikke blot denne ordbog, men et forskningsprogram for at bevise resultater baseret på det. Forståelse og udvikle denne ordbog har været en stor motivation i mit arbejde. For eksempel er en stor hul i ordbogen vende den proces, jeg beskrev – hvis vi får en dynamisk system på området, ingen ved, hvordan man finder en tre-dimensionelt objekt tilknyttet til det. Der er masser tilbage at gøre i denne spændende felt!

Q: Hvor skal du holde din Fields Medal? Har du holde det derhjemme?

M (griner): Jeg kan ikke afsløre disse oplysninger!

Q: Hvad var den situation, når du vandt Field s Medal? Hvordan føltes det?

M: Min første reaktion var en af ​​komplet forbavselse; Jeg var virkelig forfærdet. Jeg troede faktisk, jeg var ikke kvalificeret, med hensyn til alder. Jeg vidste også så mange store matematikere her, og på Berkeley, og andre steder, at jeg ikke kunne tro, at jeg var blevet valgt. Også i 1991 vandt jeg Salem-prisen, der er en præmie i Analyse; Jeg var glad for at blive anerkendt på den måde, fordi jeg virkelig elsker det område – det var min første, som en matematiker. Faktisk havde jeg skrevet min lille afhandling som en ph.d.-studerende på Salem-numre, og denne pris er til ære for Raphael Salem, så det har personlig betydning for mig. Jeg havde aldrig forventet at få nogen anerkendelse af den slags, så jeg bestemt følte jeg havde allerede haft min andel af anerkendelse. (Jeg var lige så overrasket, jeg fik et tilbud fra Harvard;. Så igen, jeg vidste ikke, hvad jeg skal sige)

Dette bringer tankerne er et ordsprog af Lipman Bers, som var en af ​​mine mentorer; Han sagde: “Matematik er noget, vi gør for liberaliseringsspørgsmål beundring af nogle få nære venner.” Jeg tror, ​​det er en god beskrivelse af matematik; du ikke forvente mere end det, fordi tilfredshed matematik er virkelig en personlig ting. Så jeg føler mig meget heldig at være blevet udvalgt til anerkendelse fra Fields medaljen udvalget.

En af de vidunderlige ting om matematik er, at fællesskabet er forholdsvis lille. Da jeg gik til Berlin for at modtage denne pris mange mennesker jeg kendte godt fra i årenes løb var til stede – en vidunderlig internationale samfund af mine venner. Det var virkelig en dejlig ting.

Q: Hvordan var du i stand til at indeholde din begejstring?

M: Nå, hvad der skete, var, jeg var så forfærdet, at jeg glemte hurtigt om det, fordi jeg ikke rigtig kunne tro det. Og så hver gang i et stykke tid, ville jeg huske. Og jeg ville synes, det kan ikke rigtig være sandt (griner), og selvfølgelig ville jeg ikke have nogen måde at kontrollere, da det skulle være en hemmelighed.

Q: Er der noget andet du gerne vil dele med os om medaljen?

Faktisk har jeg en historie om, da jeg var på vej tilbage fra Berlin. Sikkerhedsvagten i lufthavnen kører metaldetektor stoppede mig, da min rygsæk gik gennem maskinen. Hun sagde, “Undskyld mig, hvad har du i din rygsæk her?” Jeg sagde, “Det er en guldmedalje.” Hun sagde, lidt skeptisk, “Mmm hmm.” Så jeg tog det ud af mit pack. Lidt chagrined, sagde hun “Åh, meget rart; er det din?” Jeg sagde “Mmm hmm!”

Comments are closed.