Van Oss Fremskrivning af 600-celle

Link: http://homepages.wmich.edu/~drichter/vanoss.htm

DR med “pre-Van-Oss” objekt og skygge.
(Klik for en højere opløsning billede.)

Indledning.

Nogle billeder fortæller det hele, og nogle knap ridse overfladen. Denne ene gemmer på en masse, så det passer ind i sidstnævnte kategori. Forord denne lange tirade, vil jeg sige, at jeg længe har troet vinklen π / 15 at være interessant, og denne model, dette billede, og denne side repræsenterer et forsøg på at forklare om dette.

Forklaring af Foto.

Først og fremmest af fotofunktionerne mig, David A. Richter, assisterende professor i matematik ved Western Michigan University i Kalamazoo, Michigan. På billedet, jeg holder en model lavet af sugerør og rør-rengøringsmidler, holdt sammen helt ved friktion, ingen lim. Dette 3-dimensionelt objekt har refleksioner symmetrier i tre parvise vinkelrette planer. Således automorphism gruppen af ​​dette objekt er isomorf til en direkte produkt af tre kopier af to elementer, en abelsk gruppe af orden 8. Også objektet passer stramt inden for en kugle af en bestemt radius; det er næsten kugleformet. Ideelt set skyggen af ​​dette objekt har 30 gange dihedral symmetri. Jeg brugte dette billede som en hilsen til min hjemmeside, fordi på trods af unøjagtigheden af ​​konstruktionen, denne skygge trick virkede til min tilfredshed.

Ideelt set skyggen af ​​dette objekt er ingen anden end Van Oss fremskrivning af 600-celle, det samme som HSM Coxeter bruges som frontispice til hans bredt læste bog, Regelmæssige polyedre. Hvis du er en polytop maniac der porer regelmæssigt og maniacally igennem “RP”, så kan du ikke gå glip af det. Før år 2005, havde jeg vidst om Van Oss fremskrivning i mange år, men, skamme, som jeg er til at indrømme det, jeg har lært af denne “pre-Van-Oss” objekt først for nylig, og med megen stædig og uvidende vantro.

Tangent til Zome Sphere.

Sent i 2005, en kollega Scott Vorthmann advaret mig om, at der kan være en 3-dimensionelt objekt der har den egenskab, at det rager til Van Oss fremskrivning. Jeg var skeptisk, primært fordi jeg ikke forstod, at Van Oss fremskrivning repræsenterer billedet af en ortogonal projektion fra R4 til R2. Også, hvad jeg ikke vidste i mange år, var, at kapitel 13 i Coxeter bog indeholdt opskriften på dette objekt. Hverken jeg eller min ulykkelige kollega havde læst (eller forstået) denne del af Coxeter bog indtil omkring det tidspunkt, denne model blev bygget.

Scott er ansvarlig for at have skrevet vZome, en storslået software system som giver brugeren mulighed for at opbygge Zome-lignende modeller på en computerskærm. Han mente, at det kunne være muligt at beskrive denne “pre-Van-Oss” objekt ved hjælp af koordinater fra Golden Field Q (√5). Derfor Scott tilbragt mindst en et par lange irriterende nætter forsøger at skabe dette objekt i vZome, og han kom utrolig tæt, før reoler projektet.

Hans vZome model var korrekt til omkring 3 decimaler, med billedet på skærmen vises utrolig præcis. Efter nogen analyse, måtte jeg fortælle ham, at hans model var en tilnærmelse, omend en særdeles god en. Selvom vi ikke har et bevis endnu, synes det ikke muligt at beskrive koordinaterne for dette billede af 600-celle kun bruger den gyldne Field. Det er sandsynligt, at man skal anvende Q (cos TT / 15), som beskrevet i RP.

Inspireret af hans indsats og hans smukke vZome model, jeg vovede at finde de magiske koordinater, som ville projekt til vores pre-Van-Oss objekt. Efter et par ugers indsats med Maple, fandt jeg en meget enkel måde at udtrykke koordinaterne ved hjælp af cosinus af π / 15 (især med brugen af ​​30th rødder om enhed). Jeg havde tænkt mine formler til at være original, indtil jeg læste dem i afsnit 13.6 i RP. Forbløffende, havde denne smarte fyr bruges notation næsten identisk med mine. Hvad forfængelighed!

Under mit koordinatsystem bekræftet af Coxeter selv, jeg satte sig for at bygge en model af vores objekt. Jeg brugte omrøring strå til kanter og piberensere viklet omkring i små “spiders” som knudepunkter. Hvorvidt koordinaterne for sine knudepunkter ligger inden Golden Field, denne pre-Van-Oss objekt er åbenlyst ikke Zomic. Denne model anvender 23 forskellige længder af kanter, og forholdene er i overensstemmelse med de af Zome System. Desuden henviser de sædvanlige Zome model af 600-cellen udgør et fremspring, som kortlægger fleste knuder og kanter i en 2-1 korrespondance, kræver kun 75 stik og 384 stivere, Dette formål har den egenskab, at alle 120 knuder og alle kanter er 720 repræsenteret trofast. Havde jeg således til at skære 720 sugerør til 23 forskellige længder og fremstilling 120 edderkopper, hver med 12 ben. Montering af disse 840 brikkerne rigtigt involveret kedelig mærkning hver af de 120 hjørner ved hjælp af notation, at både Coxeter og jeg syntes at tro, var passende. Summen af ​​manuelt arbejde involveret i byggeriet tog omkring 20 timer.

Ghost Symmetry.

Vi siger, at dette formål tjener et eksempel på “ghost symmetri”, trods det faktum, at vi endnu ikke har et klart matematiske definition af fænomenet. Symmetrien gruppe af 600-cellen har et element af orden 30, og det er tydeligt i Van Oss fremskrivning. Imidlertid kan fremspringet fra R4 til R2 som giver Van Oss fremskrivning indregnes på en sådan måde, at projektionen til 3-space ikke i besiddelse af denne 30-fold symmetri. En anden favorit eksempel på spøgelse symmetri er indrettet af Zome model af forbindelsen med femten 16-celler.

Det bør være klart, hvad vi mener med en “akse spøgelse symmetri”; denne skygge repræsenterer en retvinklede projektion, så billedet af fremspringet har en ortogonale komplement. Den præ-Van-Oss objekt har tre forskellige akser spøgelse symmetri. Bemærkelsesværdigt, to af disse gav Van Oss Projektion, med D (30) symmetri, mens de andre udbytter et fremspring med D (4) symmetri, den samme som af et kvadrat. D (4) akse er vinkelret på både af D (30) akser. Ved et tilfælde, som astonishes mig, vinklen mellem de to D (30) akser er nøjagtig den samme som vinklen mellem en femkantet akse og en trihedral akse i en ikosaeder. I Zome betyder dette er det samme som vinklen mellem en rød akse og en gul akse.

Figur 1. en akse af D (30) Ghost Symmetry.              Figur 2. Den anden akse af D (30) Ghost Symmetry.               Figur 3. en akse af D (4) Ghost Symmetry.

Referencer.

“RP”: H. S. M. Coxeter. Regelmæssige polyedre. 3. udg. Dover Publications Inc., New York, 1973.

Scott Vorthmann. vZome

 

Comments are closed.